معمای کاشی‌کاری با شکل‌های پنج‌گانه!

شکل 2 - سه طرح کاشی‌کاری منظم.

مشکل کاشی‌کاری با عدد 5

همه‌ی ما با روش‌های ساده‌ی کاشی‌کاری صفحه با مثلث‌های متساوی‌الاضلاع، مربع‌ها یا شش‌ضلعی‌ها آشنا هستیم. این‌ها سه روش قاعده‌مند برای کاشی‌کاری هستند و هریک از آن‌ها از تکرار یکسان یک «چندضلعی منتظم» تشکیل شده‌اند.

چندضلعی منتظم» شکلی است که همه‌ی اضلاعش طول یکسان دارند و زاویه‌های بین آن‌ها و کاشی‌های مجاور کاملاً در مرز‌های‌شان مشترک‌اند. یعنی هرگز قسمتی از مرز یک کاشی با بخشی از مرز کاشی دیگر هم‌پوشانی ندارد.

شکل 3 – سه «پنج‌ضلعی» (Pentagon) که حول یک نقطه کنار هم قرار بگیرند یک جای خالی به‌جای می‌گذارند و چهار «پنج‌ضلعی» (Pentagon) با‌ یکدیگر هم‌پوشانی می‌کنند.

در این مجموعه از کاشی‌کاری‌ها با چندضلعی‌های منتظم به‌وضوح عدد 5 دیده نمی‌شود. به‌راستی چرا در یک کاشی‌کاری منظم، با «پنج‌ضلعی‌» (Pentagon) مواجه نمی‌شویم؟ به این نتیجه می‌رسیم که چنین کاشی‌کاری‌ای وجود ندارد و البته دلیل آن هم چندان پیچیده نیست:

یک «پنج‌ضلعی منتظم» (Regular Pentagon) پنج زاویه‌ی داخلی 108 درجه‌ای دارد. اگر ما تلاش کنیم پنج‌ضلعی‌ها را حول یک نقطه بچینیم خواهیم دید که وقتی سه تا از آن‌ها را کنار هم قرار می‌دهیم یک «جای خالی» برجای می‌ماند زیرا 324=108×3 که کم‌تر از 360 درجه‌ مربوط به یک دایره‌ی کامل است و هنگامی‌که 4 تا از این «پنج‌ضلعی‌ها» (Pentagons) را کنار هم می‌چینیم با یکدیگر هم‌پوشانی دارند زیرا 432=108×3 که از 360 درجه‌ی مربوط به یک دایره‌ی کامل بیش‌تر است (شکل 3).

بیایید سعی کنیم این معما را حل کنیم و تلاش نماییم فارغ از برخی محدودیت‌ها، کاشی‌کاری‌های جالب دیگری شامل عدد پنج برای صفحه بیابیم. بیایید این قید را که همه‌ی ‌کاشی‌ها تکرار یکسان یک چندضلعی باشند کنار بگذاریم.

اکنون قید مسأله فقط این است که هر کاشی منفرد یک «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry) داشته باشد یعنی هر کاشی یک مرکز چرخش p داشته باشد به‌طوری که چرخش‌ها حول p به‌اندازه‌ی یک‌پنجم، دوپنجم، سه‌پنجم و چهارپنجم یک دایره باشد. به‌عبارت دیگر چرخش به‌اندازه‌ی ضرایب 72 درجه حول p طرح کاشی‌کاری را تغییر ندهد.

آیا اکنون یافتن مجموعه‌ای از شکل‌ها با «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry) - که در کنار هم بتوانند یک صفحه را بپوشانند - ممکن است؟

با فرض در دسترس بودن تعداد زیادی شکل با «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry)، کاشی‌کاری صفحه به‌کمک این شکل‌ها ممکن به‌نظر می‌رسد. اگرچه مسأله ظاهراً ساده جلوه می‌کند ولی به‌طور شگفت‌اوری دقیق و ظریف است تا جایی‌که ذهن برخی از بزرگ‌ترین متفکران تاریخ ریاضی را سال‌ها به خود مشغول کرده ‌بود. با ‌این وجود تاکنون جواب کاملی به این معما داده نشده است.

شکل 4 - قطعه قطعه تا ساخت یک طرح.

به‌دنبال شکل‌های ساده

بیایید هرگونه استدلال دقیق ریاضی در مورد وجود یا عدم وجود این نوع کاشی‌کاری‌ را کنار بگذاریم و قدم به قدم تلاش کنیم آن را بسازیم. در شکل 4 با یک «پنج ضلعی‌ منتظم» (Regular Pentagon) شروع می‌کنیم: یک شکل خیلی ساده‌ شامل «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry).

می‌دانیم به هر ضلع یک «پنج ضلعی‌ منتظم» (Regular Pentagon) می‌توانیم یک «پنج‌ضلعی» (Pentagon)‌ دیگر بچسبانیم. البته با این‌کار، پنج شکاف 36 درجه‌ای در بین آن‌ها به‌وجود می‌آید. می‌توانیم این شکاف‌ها را به‌کمک ستاره‌های «پنج‌‌پَر» (Pentacle) بپوشانیم. شکاف‌هایی که در میان این ستاره ایجاد می‌شود را می‌توانیم با پنج‌ضلعی‌هایی (Pentagons) با طول دو برابر پُر کنیم.

اما از این‌جا به بعد، راه ساده‌ای برای اضافه کردن لایه‌ی دیگری به شکل‌ها نداریم. ستاره‌های «پنج‌پَر» (Pentacle) - که در شکل با رنگ قرمز در گوشه‌ی سمت راست بالا نمایش داده شده - با یکدیگر هم‌پوشانی خواهند داشت.

به‌عنوان یک راه‌حل می‌توانیم از شکل دیگری کمک بگیریم. مثلاً: شکلی که با علامت سؤال نشان داده شده است. ولی معلوم نیست این شکل جدید به‌اندازه‌ی ستاره‌های «پنج‌پَر» (Pentacle) بی‌ضرر باشند. به‌علاوه هیچ دلیلی نداریم که نشان دهد این شکل جدید به ما اجازه خواهد داد بقیه‌ی صفحه را کاشی‌کاری کنیم.

شکل 5 - حتی با شروع از یک ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) باز هم به مشکل برمی‌خوریم.

این شکل احتمالاً تنها گیرافتادن دوباره‌ی ما را به تعویق می‌اندازد. اگر برگردیم و شکل خود را دوباره ولی این‌بار با مرکز قرار دادن ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) - همان‌طور که در شکل 5 نشان داده شده - بازسازی کنیم می‌توانیم الگوی بزرگی از کاشی‌کاری شامل «ده‌ضلعی منتظم» (Regular Decagon) بسازیم. اما نه ... این‌بار هم به‌دام افتادیم ...

شکل 6 – با یک ده‌ضلعی مرکزی نیز نتیجه‌ی لازم را به‌دست نخواهیم آورد.

شکل 6 نشان می‌دهد الگویی با مرکز بودن «ده‌ضلعی منتظم» (Regular Decagon) نیز از براوردن خواسته‌ی ما ناتوان است. اگر کمی سمج باشیم می‌توانیم نشان دهیم چهار شکلی که تاکنون استفاده ‌کرده‌ایم یعنی «پنج‌ضلعی» (Pentagon)‌ کوچک، «پنج‌ضلعی‌‌» (Pentagon) بزرگ، ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) و «ده‌ضلعی» «ده‌ضلعی منتظم» (Decagon) به هیچ‌ترتیبی نمی‌توانند صفحه را کاشی کنند.

شکل 7 - یک «پنج‌ضلعی» (Pentagon) از یک مربع بیرون بکشید. حالا شما یک طرح کاشی‌کاری با «پنج‌ضلعی» (Pentagon) دارید. به‌همین سادگی!!

«لوزی» (Rhombus) شکلی بدون پنج ضلع ولی مناسب!

اکنون به دو روش می‌توانیم کار خود را ادامه دهیم:

- یک راه این است که خانواده‌ای از اشکال مختلف طراحی ‌کنیم و بعد ببینیم کار کاشی‌‌کاری را تا کجا می‌توانیم ادامه دهیم.

- روش دیگر این است که شرط داشتن «تقارن پنج‌گانه» (Five- Fold Symmetry) را از روی شکل‌ها برداشته از شکل‌هایی استفاده کنیم که لزوماً این تقارن را نداشته باشند.

به‌کمک روش دوم می‌توانیم کاشی‌کاری‌هایی طراحی کنیم که به‌سادگی تمام صفحه را می‌پوشانند. البته باید راهی بیابیم که کاشی‌کاری‌های‌مان مشکلی نداشته باشد. در این روش، مجاز شمردن استفاده از شکل‌های دیگر، کار را خیلی ساده می‌کند.

از هر چندضلعی‌ای که برای کا‌شی‌کاری به‌کار رود می‌توان یک «پنج‌ضلعی» (Pentagon) جدا کرد و این شکل جدید در کنار «پنج‌ضلعی» (Pentagon) جدا شده‌، سطح صفحه را کاشی خواهند کرد (شکل 7).

شکل 8 - شکلی مانند «هشت‌ضلعی» (Octagon) که با یک «لوزی» (Rhombus) و دو «پنج‌ضلعی منتظم» (Regular Pentagon) ساخته شده است.

ما رویکرد اصولی‌تری را پیش خواهیم گرفت. به‌سادگی‌ می‌توان دید دو «پنج‌ضلعی منتظم» (Regular Pentagon) و یک «لوزی» (Rhombus) سی و شش درجه‌ای، محدوده‌ای به‌شکل «هشت‌ضلعی» (Octagon) تشکیل می‌دهند که می‌تواند تمام صفحه را کاشی‌کاری کند:

به‌سادگی‌ می‌توانید با شروع از یک کاشی و انتقال آن در جهت‌های مختلف، عمودی، افقی و مورب، تمام صفحه را با این کاشی‌ها بپوشانید (شکل 8).

شکل 9 - «چینش شعاعی» (Radial Arrangement) در سمت چپ توسط «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer) انجام شده است. «چینش مارپیچ» (Spiral Arrangement) در سمت راست با یک «ده‌ضلعی ‌منتظم» (Regular Decagon) آغاز می‌شود.

شکل 10 - «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer).

در واقع روش‌های متعددی برای کاشی‌کاری صفحه به‌وسیله‌ی این شکل وجود دارد. شاید مشهورترین روش کاشی‌کاری صفحه به‌کمک این شکل، «چینش شعاعی» (Radial Arrangemnet) باشد (شکل 9). این چینش را هنرمند و ریاضی‌دان آلمانی «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer) در قرن شانزده میلادی طراحی کرده ‌است. با افزودن تنها یک «ده‌ضلعی» (Decagon) در مرکز این چینش می‌توانیم طرحی مارپیچ و زیبا ایجاد کنیم (شکل 9).

حدس می‌زنیم خوانندگان ما آن‌قدر باهوش هستند که با دیدن الگوی کاشی‌کاری، شیوه‌ی ادامه دادن کاشی‌کاری را تا جایی‌که تمام صفحه پوشیده شود تجسم کنند.

شکل 11 - هر شکل با مجموعه‌ای از شکل‌های کوچک‌تر  [«پنج‌ضلعی» (Pentagon) و «لوزی» (Rhombus)] جایگزین می‌شود.

شکل 12 - «یوهان کپلر» (Johannes Kepler).

پیکربندی‌های اعجاب‌انگیز به روش «جانشین‌سازی» (Substitution)

آیا می‌توانیم شکل‌های‌مان را به شکل‌های کوچک‌تر مناسبی تقسیم کنیم (همان‌طور که پیش از این از «لوزی» (Rhombus) استفاده کردیم)؟

این پرسش ما را به قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) در نظریه‌ی «کاشی‌کاری» و شناخت یکی از نوابغ این رشته یعنی «یوهان کپلر» (Johannes Kepler) هدایت می‌کند.

وقتی قطعه‌ای از یک کاشی‌کاری را داریم به‌کمک قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) به‌جای این قطعه، مجموعه‌ای از کاشی‌های کوچک‌تر را می‌نشانیم (شکل 11).

شکل 13 - با به‌کارگیری قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) شکل 11 بر روی کاشی‌کاری‌های شکل 8 و شکل 9 چنین نتیجه‌ای به‌دست می‌آید.

در شکل 13 نتیجه‌ی کاشی‌کاری دوره‌ای با «الگوی شعاعی» (Radial Tilings) نمایش داده شده است. وقتی در قطعه‌ی اصلی هیچ دو «لوزی» (Rhombus) مجاوری وجود نداشته باشند کاشی‌کاری جدیدی با شکل‌های «پنج‌ضلعی» (Pentagon)، ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle)، «ده‌ضلعی» (Decagon) و شکلی خواهیم داشت که از به‌هم پیوستن دو «ده‌ضلعی» (Decagon) به‌دست می‌آید.

اعمال قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) در «چینش شعاعی» (Radial Arrangement) «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer) به کاشی‌کاری فوق‌العاده‌ای منجر می‌شود. این موضوع در مقاله‌ای به‌اسم «هارمونیس ماندی» (Harmonice Mundi) نوشته‌ی «یوهان کپلر» (Johannes Kepler) درباره‌ی ستاره‌شناسی و هندسه در قرن هفدهم مطرح شد.

شکل 14 - طرح «یوهان کپلر» (Johannes Kepler) که Aa نام دارد.

از «یوهان کپلر» (Johannes Kepler) چندین طرح برای «شکل‌های پنج‌گانه» (Five- Fold Shapes) به‌جای مانده ‌است. احتمالاً این طرح‌ها در تلاش برای پاسخ‌گویی به مسأله‌ی «کاشی‌کاری پنج‌گانه» (Five- Fold Tiling) طراحی شده‌اند. قطعه‌ا‌ی که در شکل 14 می‌بینید بزرگ‌ترین طرح اوست. او این طرح را Aa نامیده‌ است. این طرح با «ده‌ضلعی‌هایی» (Decagons) آمیخته شده است که وی آن‌ها را «اعجاب‌انگیز» (Monstre) نامید.

متنی که ضمیممه‌ی این طرح است نشان می‌دهد او چه روشی برای ادامه‌ی ساختار این طرح در نظر داشته است. در قرن بیستم میلادی، چند ریاضی‌دان به‌طور اصولی نشان دادند که این طرح چگونه باید ادامه یابد. با دقت در طرح‌های ارائه شده توسط «آلبرت دورر» (Albrecht Dürer) و «یوهان کپلر» (Johannes Kepler) به ارتباط نزدیک ذهنی این دو اندیشمند بزرگ به‌رغم حدود دویست سال فاصله‌ی زمانی بیش‌تر پی می‌بریم.

شکل 15 - تقسیم یک شکل نامتداول به «پنج‌ضلعی» (Pentagon)، ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) و «لوزی» (Rhombus).

تقسیم‌بندی همیشگی اشکال اعجاب‌انگیز

قطعاً قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) مشکل «کاشی‌کاری‌ پنج‌گانه» (Five- Fold Tiling) را حل نمی‌کند. با این روش، «لوزی» (Rhombus) از کاشی‌کاری حذف می‌شود ولی به‌جای آن، اشکالی جایگزین می‌شوند که تنها «تقارن دوگانه» (Two-Fold Symmetry) دارند.

وقتی شکل‌های بزرگ را به شکل‌های کوچک‌تر تقسیم می‌کنیم نباید شکل‌ عجیب دیگری به «پنج‌ضلعی» (Pentagon)، ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) و «لوزی» (Rhombus) اضافه کنیم:

شکل 16 مجموعه‌ی کاملی از اعمال قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) برای «پنج‌ضلعی» (Pentagon)، ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle)، «ده‌ضلعی» (Decagon) و «لوزی» (Rhombus). اگرچه «جانشین‌سازی» (Substitution) دو شکل «لوزی» (Rhombus) و ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) از آن‌ها بیرون می‌زند اما کاملاً درست است.

از آن‌جا که قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) برای «لوزی‌ها» (Rhombi) به شکلی نامتداول می‌انجامد می‌توانیم زیرتقسیم‌های «لوزی» (Rhombus) و آن شکل نا‌متداول را با هم ترکیب کنیم (شکل 16). اکنون این قانون را می‌توانیم در مورد زیرتقسیم‌های ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) و «ده‌ضلعی» (Decagon) به‌کار ببریم.

شکل 17 - بخش کوچکی از کاشی‌کاری که توسط «لوزی» (Rhombus) و «پنج‌ضلعی» (Pentagon) با ‌به‌کارگیری قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) در شکل 16 انجام شده ‌است. شکل سمت راست رابطه‌ی بین کاشی‌ها در تمام سطوح «جانشین‌سازی» (Substitution) را نمایش می‌دهد. برای مشاهده‌ی نسخه‌ی بزرگ‌تر عکس این‌جا را کلیک فرمایید.

اما این زیرتقسیم‌ها به ما اجازه می‌دهند نوع دیگری کاشی‌کاری طراحی کنیم:

شکل 18 - «چینش مارپیچ» (Spiral Arrangement) شکل 9 که در آن «لوزی» (Rhombus) مشابه آن‌چه در شکل 11 نشان داده ‌شده است و سایر شکل‌ها مشابه شکل 16 به زیرتقسیم‌های خود تفکیک شده‌اند. می‌توانیم شکل‌های نامتداول را مانند شکل 15 با زیرتقسیم‌های‌شان جایگزین کنیم.

در واقع در این‌جا، دیگر شکل جدیدی معرفی نمی‌کنیم و تنها با ایجاد دنباله‌ای نامتناهی از زیرتقسیم‌ها، کاشی‌کاری را با «جانشین‌سازی» (Substitution) ادامه می‌دهیم.

توجه کنید که هر طرح جدید شامل «لوزی» (Rhombus) است. بدون انجام عمل زیرتقسیم به‌تعداد کافی نمی‌توانیم به مسأله‌ی کاشی‌کاری پنج‌گانه پاسخ دهیم. شکل 18 اعمال قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) را در «چینش مارپیچ» (Spiral Arrangement) شکل 9 نشان می‌دهد.

شکل 19 - «سر راجر پن‌رز» (Sir Roger Penrose)‌.

کاشی‌کاری «پِنْ‌رُز» (Penrose)

سیستم دیگری برای «جانشین‌سازی» (Substitution) برمبنای «پنج‌ضلعی‌های منتظم» (Regular Pentagon) در قرن بیستم توسط «سر راجر پن‌رز» (Sir Roger Penrose)‌ ابداع شد و به یک کشف شگفت‌انگیز ‌انجامید.

«سر راجر پن‌رز» (Sir Roger Penrose) مشاهده‌ کرد که در یک «پنج‌ضلعی» (Pentagon)، آرایشی از شش «پنج‌ضلعی» (Pentagon)‌ کوچک دیگر (مانند تصویر اول در شکل 4) را می‌توان جای داد. البته این «جانشین‌سازی» (Substitution) تمام سطح «پنج‌ضلعی» (Pentagon) اصلی را نمی‌پوشاند بلکه مقداری جای خالی هم برجا می‌ماند. این جاهای خالی پنج مثلث «متساوی‌الساقین» (Isosceles) با زاویه‌ی رأس 36 درجه هستند.

شکل 20 - نخستین گام‌ها برای ایجاد سیستم «جانشین‌سازی» (Substitution) «پِنْ‌رُز» (Penrose).

همان‌طور که در شکل 20 دیده می‌شود تقسیم شش‌تایی (تقسیم یک «پنج‌ضلعی» (Pentagon) به شش «پنج‌ضلعی» (Pentagon)‌ کوچک) یک کاشی «لوزی» (Rhombus) شکل را در میان 6 «پنج‌ضلعی» (Pentagon) محاصره می‌کند. در الگویی دیگر، «لوزی‌ها» (Rhombi) در قالب «شکل‌هایی میخ‌مانند» (Spiky Shapes) قرار می‌گیرند.

شکل 21 - «سر راجر پن‌رز» (Sir Roger Penrose)‌.

«سر راجر پن‌رز» (Sir Roger Penrose)‌ فهمید «لوزی‌های میخی‌شکل» (Spiky Rhombi) می‌توانند با جاسازی‌ «پنج‌ضلعی‌ها» (Pentagon) یعنی با تقسیم هریک به «پنج‌ضلعی» (Pentagon)، ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) و یک ستاره‌ی «پنج‌پَر» (Pentacle) نصفه یا یک «قایق کاغذی»!! (Paper Boat) ساده شوند.

شکل 22 – اعمال قانون «جانشین‌سازی» (Substitution) برای چند شکل خاص.